3. Решить уравнение: 1) $\sqrt{4+3x}=x$; 2) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3$; 3) $(25-x^2)\sqrt{x^2-4x-12}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решить уравнение: 1) $\sqrt{4+3x}=x$; 2) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3$; 3) $(25-x^2)\sqrt{x^2-4x-12}=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений включает условие $x\ge0$. Возведём обе части в квадрат: \[4+3x=x^2,\qquad x^2-3x-4=0,\qquad (x-4)(x+1)=0.\] Получаем $x=4$ или $x=-1$; условию $x\ge0$ подходит только $x=4$. Проверка: $\sqrt{4+12}=4$.
Из области допустимых значений $x\ge-\frac32$. Перенесём один корень: $\sqrt{2x+3}=3-\sqrt{x+5}$; правая часть должна быть неотрицательной, поэтому $x\le4$. Возведём в квадрат: \[2x+3=14+x-6\sqrt{x+5},\qquad 11-x=6\sqrt{x+5}.\] Ещё раз возведём в квадрат: \[(11-x)^2=36(x+5),\qquad x^2-58x-59=0,\qquad (x-59)(x+1)=0.\] Из найденных значений ограничениям соответствует только $x=-1$. Проверка: $\sqrt1+\sqrt4=3$.
Сначала учитываем область определения: \[x^2-4x-12=(x-6)(x+2)\ge0,\quad x\le-2\text{ или }x\ge6.\] Произведение равно нулю, если $25-x^2=0$ или $x^2-4x-12=0$. Первое уравнение даёт $x=\pm5$, из них области определения соответствует $-5$. Второе даёт $x=-2$ или $x=6$; оба корня допустимы.

Ответ: 1) $x=4$; 2) $x=-1$; 3) $x\in\{-5,-2,6\}$.

3. Решить уравнение: 1) \(\sqrt{4+3x}=x\); 2) \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3\); 3) \((25-x^2)\sqrt{x^2-4x-12}=0\).