3. Решить уравнение: \(7^{2x}-x-8=0\)

При \(x=0\): \(7^0-0-8=-7\), значит, \(x=0\) не является корнем. Проверим целое значение \(x=1\): \(7^2-1-8=40\), также не корень.

Рассмотрим функцию \(f(x)=7^{2x}-x-8\). Её производная равна \(f'(x)=2\ln(7)\cdot7^{2x}-1\), а вторая производная \(f''(x)=4(\ln 7)^2\cdot7^{2x}>0\). Поэтому функция строго выпукла и уравнение может иметь не более двух корней.

Численно находим корни уравнения: один корень лежит между \(-2\) и \(-1\), другой — между \(1\) и \(2\). Численные значения: \(x\approx-1{,}104\) и \(x\approx1{,}075\).

Ответ: \(x\approx-1{,}104\); \(x\approx1{,}075\).