3. Решить уравнения: а) 4 sin²x + 11 sin x − 3 = 0; б) 4 cos x − 4 + sin²x = 0; в) sin 5x − sin x = 0; г) −7 cos²x + 9 sin x cos x − 2 sin²x = 0.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

а) Обозначим \(t=\sin x\). Получаем \(4t^2+11t-3=0\), то есть \((4t-1)(t+3)=0\). Корень \(t=-3\) не подходит, поскольку \(|\sin x|\le1\). Поэтому \(\sin x=\frac14\), и

\(x=(-1)^k\arcsin(\frac14)+\pi k.\)

б) Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(4\cos x-4+1-\cos^2x=0\),

\((\cos x-1)(\cos x-3)=0.\)

Значение \(\cos x=3\) невозможно, поэтому \(\cos x=1\) и \(x=2\pi k\).

в) По формуле разности синусов:

\(\sin5x-\sin x=2\cos3x\sin2x=0.\)

Следовательно, \(\cos3x=0\) или \(\sin2x=0\). Получаем \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\) или \(x=\frac{\pi k}{2}\).

г) При \(\cos x=0\) левая часть равна \(-2\), поэтому таких корней нет. Делим уравнение на \(\cos^2x\):

\(-7+9 g x-2 g^2x=0\), то есть \(2 g^2x-9 g x+7=0\).

\(( g x-1)(2 g x-7)=0\). Значит, \( g x=1\) или \( g x=\frac72\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctg(\frac72)+\pi k\).

Ответ: а) \(x=(-1)^k\arcsin(\frac14)+\pi k\); б) \(x=2\pi k\); в) \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\) или \(x=\frac{\pi k}{2}\); г) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctg(\frac72)+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).