3. Решите графически систему уравнений: \(\begin{cases} x - y = -3 \\ 3x + y = 1 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы графически построим графики обеих линейных функций.

Первое уравнение: \(x - y = -3\)
Выразим \(y\): \(y = x + 3\).

Построим точки для первого графика:

• Если \(x = 0\), то \(y = 3\). Точка (0, 3).
• Если \(x = -3\), то \(y = 0\). Точка (-3, 0).

Второе уравнение: \(3x + y = 1\)
Выразим \(y\): \(y = 1 - 3x\).

Построим точки для второго графика:

• Если \(x = 0\), то \(y = 1\). Точка (0, 1).
• Если \(x = 1\), то \(y = 1 - 3(1) = -2\). Точка (1, -2).

Графики пересекаются в точке, координаты которой являются решением системы. На графике видно, что точки \(x = -1\) и \(y = 2\) удовлетворяют обоим уравнениям.

Проверим: \((-1) - 2 = -3\) (верно); \(3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1\) (неверно).

Проверим точку пересечения графиков. На графике видно, что точки \(x = -1\) и \(y = 2\) должны быть решением. Проверим еще раз. Если \(x=-1\), то \(y = -1+3=2\). Если \(x=-1\) то \(y=1-3(-1)=1+3=4\). Точка пересечения должна быть найдена как решение системы уравнений.

Решим систему аналитически для определения точки пересечения:

\(x - y = -3\)
\(3x + y = 1\)
Складываем уравнения: \(4x = -2\) \(x = -0.5\)
Подставляем \(x\) в первое уравнение: \(-0.5 - y = -3\) \(-y = -2.5\) \(y = 2.5\).

Значит, точка пересечения графиков (-0.5, 2.5).

Ответ: \(x = -0.5, y = 2.5\).