3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x+3}<0$; б) $\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x+3}<0$; б) $\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}\ge0$.$ Фото задания

3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x+3}<0$; б) $\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}\ge0$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x\ne-3$. Разложим числитель на множители: $(x-2)^2(x+2)$. Критические точки: $-3,-2,2$; при $x=2$ числитель обращается в нуль, причём знак при переходе через эту точку не меняется, поскольку множитель возведён в квадрат.

Знак дроби отрицателен на промежутках $(-3,-2)$ и $(-2,2)$. Точку $-2$ включить нельзя, поскольку дробь равна нулю, а требуется строгое неравенство; точку $2$ также исключаем.

Ответ: $x\in(-3,-2)\cup(-2,2)$.

б) Разложим числитель и знаменатель: $x^2-8x+16=(x-4)^2$, $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$. Область определения: $x\ne-2,5$. Числитель неотрицателен и равен нулю при $x=4$. Знаменатель положителен при $x<-2$ и $x>5$, отрицателен при \(-2

Ответ: $x\in(-\infty,-2)\cup\{4\}\cup(5,+\infty)$.

3. Решите неравенство: а) \(\frac{(x-2)^2(x+2)}{x+3}<0\); б) \(\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}\ge0\).

Ответ: