3. Решите неравенство: а) \(\log_5(x+70)<3\); б) \(\log_9(x-6)>\log_9(3x+8)\); в) \(\lg x^2-\lg(x-5)>1\); г) \(\log_3\log_{\frac12}(x^2-1)>1\).

а) Область определения: \(x>-70\). Так как основание 5 больше 1, знак неравенства сохраняется: \(x+70<5^3=125\), откуда \(x<55\). Объединяем условия: \(x\in(-70;55)\).

б) Область определения: \(x-6>0\) и \(3x+8>0\), то есть достаточно условия \(x>6\). Основание 9 больше 1, поэтому \(x-6>3x+8\), откуда \(x<-7\). Это противоречит условию \(x>6\), поэтому решений нет.

в) Область определения исходного выражения: \(x^2>0\) и \(x-5>0\), следовательно, \(x>5\). По свойству логарифмов \(\lg\frac{x^2}{x-5}>1\). Так как основание 10 больше 1, получаем \(\frac{x^2}{x-5}>10\). При \(x>5\) знаменатель положителен, поэтому \(x^2-10x+50>0\). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \(100-200=-100<0\), а старший коэффициент положителен, значит, неравенство верно при всех \(x\). Ответ с учётом области определения: \(x\in(5;+\infty)\).

г) Для внешнего логарифма требуется \(\log_{\frac12}(x^2-1)>0\), поскольку \(\log_3 A>1\) равносильно \(A>3\). Внутренний логарифм определён при \(x^2-1>0\). Так как основание \(\frac12\) меньше 1, неравенство \(\log_{\frac12}(x^2-1)>3\) равносильно \(0

Ответ: а) \((-70;55)\); б) решений нет; в) \((5;+\infty)\); г) \((-\frac{3\sqrt2}{4};-1)\cup(1;\frac{3\sqrt2}{4})\).