Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решите неравенство: а) \(\log_5(x+70)<3\); б) \(\log_9(x-6)>\log_9(3x+8)\); в) \(\lg x^2-\lg(x-5)>1\); г)…Фото задания

Ответ:

  1. а) Основание 5 больше 1, поэтому логарифм возрастает. Необходимо, чтобы аргумент был положительным, и \(\log_5(x+70)<3\) равносильно \(0<x+70<5^3\). Следовательно, \(-70<x<55\).
  2. б) Области определения требуют \(x-6>0\) и \(3x+8>0\), то есть достаточно условия \(x>6\). Основание 9 больше 1, поэтому \(x-6>3x+8\), откуда \(x<-7\). Это противоречит \(x>6\), решений нет.
  3. в) Область определения: \(x^2>0\) и \(x-5>0\), значит \(x>5\). Объединяем логарифмы и используем возрастание десятичного логарифма:
    \[\lg\frac{x^2}{x-5}>1\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{x-5}>10.\]
    При \(x>5\) знаменатель положителен, поэтому \(x^2>10x-50\), или \(x^2-10x+50>0\). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \(100-200=-100<0\), а старший коэффициент положителен; неравенство верно для всех \(x\). Ответ для этого пункта: \(x>5\).
  4. г) Внешний логарифм определён, когда \(\log_{\frac12}(x^2-1)>0\). Поскольку основание внешнего логарифма 3 больше 1, исходное неравенство равносильно \(\log_{\frac12}(x^2-1)>3\). Логарифм с основанием \(\frac12\) убывает, поэтому \[0<x^2-1<\left(\frac12\right)^3=\frac18.\] Значит, \(1<x^2<\frac98\), откуда \(x\in\left(-\frac{3\sqrt2}{4},-1\right)\cup\left(1,\frac{3\sqrt2}{4}\right)\).

Ответ: а) \((-70,55)\); б) решений нет; в) \((5,+\infty)\); г) \(\left(-\frac{3\sqrt2}{4},-1\right)\cup\left(1,\frac{3\sqrt2}{4}\right)\).