3. Решите систему неравенств \(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2} \ge 0 \\ 2-7x \le 14-3x \end{cases}\)

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

\(\frac{10-2x}{3+(5-2x)^2} \ge 0\)

Знаменатель \(3+(5-2x)^2\) всегда положителен, так как \((5-2x)^2 \ge 0\) и \(3\) — положительное число. Следовательно, знак неравенства определяется знаком числителя.

\(10-2x \ge 0\)

\(10 \ge 2x\)

\(5 \ge x\)

\(x \le 5\)

Второе неравенство:

\(2-7x \le 14-3x\)

Перенесём члены с \(x\) в правую часть, а числа — в левую:

\(2 - 14 \le 7x - 3x\)

\(-12 \le 4x\)

Разделим обе части на 4:

\(-3 \le x\)

\(x \ge -3\)

Система неравенств:

Нам нужно найти \(x\), который удовлетворяет обоим условиям: \(x \le 5\) и \(x \ge -3\).

Объединяя эти условия, получаем:

\(-3 \le x \le 5\)

Ответ: \([-3; 5]\).