8. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Решение:

Пусть центры окружностей — точки A, B, C, а их радиусы — \(r_A=2\), \(r_B=3\), \(r_C=10\).

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме их радиусов:

• AB = \(r_A + r_B = 2 + 3 = 5\)
• BC = \(r_B + r_C = 3 + 10 = 13\)
• AC = \(r_A + r_C = 2 + 10 = 12\)

Таким образом, вершины треугольника ABC имеют стороны:

• a = BC = 13
• b = AC = 12
• c = AB = 5

Треугольник ABC имеет стороны 5, 12, 13. Заметим, что \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине A.

Теперь нам нужно найти радиус окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник. Формула для радиуса вписанной окружности (r) в любом треугольнике:

\(r = \frac{S}{p}\), где S — площадь треугольника, p — полупериметр.

Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов:

\(S = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\)

Полупериметр треугольника:

\(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 13 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\)

Теперь найдём радиус вписанной окружности:

\(r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2\)

Альтернативная формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\(r = \frac{a + b - c}{2}\), где a и b — катеты, c — гипотенуза.

\(r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 2.