3) Решите системы: а) с помощью определителей: \(\begin{cases}4x-9y=3,\\-x+3y=6;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac1x+\frac1y=5,\\\frac1{x^2}+\frac1{y^2}=13.\end{cases}\)

1. а) По правилу Крамера главный определитель равен

   \[\Delta=\begin{vmatrix}4&-9\\-1&3\end{vmatrix}=12-9=3.\]

   Определители для неизвестных:

   \[\Delta_x=\begin{vmatrix}3&-9\\6&3\end{vmatrix}=9+54=63,\qquad \Delta_y=\begin{vmatrix}4&3\\-1&6\end{vmatrix}=24+3=27.\]

   Тогда \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=21\), \(y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=9\).

2. б) Положим \(u=\frac1x\), \(v=\frac1y\), где \(x,y\ne0\). Тогда \(u+v=5\), \(u^2+v^2=13\). Из равенства \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\) получаем \(25=13+2uv\), значит, \(uv=6\).

   Числа \(u\) и \(v\) — корни уравнения \(t^2-5t+6=0\), то есть \(2\) и \(3\). Поэтому возможны пары \((u,v)=(2,3)\) и \((3,2)\). Возвращаясь к исходным переменным, получаем \((x,y)=\left(\frac12,\frac13\right)\) или \((x,y)=\left(\frac13,\frac12\right)\).

Ответ: а) \((21,9)\); б) \(\left(\frac12,\frac13\right)\), \(\left(\frac13,\frac12\right)\).