№3. Решите системы линейных уравнений методом Крамера: а) \(\begin{cases}2x+3y=1\\3x-y=7\end{cases}\); б) \(\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=3\\x+3y-z=4\end{cases}\).

а) Главный определитель:

\(\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\3&-1\end{vmatrix}=-2-9=-11\ne0.\)

По формулам Крамера:

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}1&3\\7&-1\end{vmatrix}=-1-21=-22,\qquad \Delta_y=\begin{vmatrix}2&1\\3&7\end{vmatrix}=14-3=11.\)

\(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=2,\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=-1.\)

б) Главный определитель:

\(\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&3&-1\end{vmatrix}=-2+3+7=8\ne0.\)

Определители для неизвестных:

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}4&1&1\\3&-1&1\\4&3&-1\end{vmatrix}=12,\quad \Delta_y=\begin{vmatrix}1&4&1\\2&3&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=10,\quad \Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&4\\2&-1&3\\1&3&4\end{vmatrix}=10.\)

Следовательно, \(x=\frac{12}{8}=\frac32\), \(y=\frac{10}{8}=\frac54\), \(z=\frac{10}{8}=\frac54\).

Ответ: а) \(x=2,\ y=-1\); б) \(x=\frac32,\ y=\frac54,\ z=\frac54\).