№4. Вычислите определитель четвёртого порядка: \(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&2&5&1\\2&1&4&0\\0&3&-1&2\end{vmatrix}\).

Разложим определитель по первому столбцу. Нулевые слагаемые не влияют:

\(D=\begin{vmatrix}2&3&4\\2&5&1\\3&-1&2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&3&4\\2&5&1\\3&-1&2\end{vmatrix}\) — нет: для первого слагаемого соответствующий минор получается удалением первой строки и первого столбца, а для второго — третьей строки и первого столбца.

\(D=\begin{vmatrix}2&5&1\\1&4&0\\3&-1&2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&3&4\\2&5&1\\3&-1&2\end{vmatrix}.\)

Первый минор: \(2(8)-5(2)+1(-13)=-7\). Второй минор: \(2(11)-3(1)+4(-17)=-49\).

Поэтому \(D=-7+2(-49)=-105\).

Ответ: −105.