3. Решите системы уравнений: a) {x+5y=7; x+3y=5} б) {x+y=12; x-3y=0} в) {11x-y=150; y+7x=30} г) {2(3x-y)-5=2x-3y; 5-(x-2y)=4y+18}

Решение:

Решим каждую систему методом подстановки или вычитания.

а) {x+5y=7; x+3y=5}

1. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить x:

\[ (x+5y) - (x+3y) = 7 - 5 \]

\[ x + 5y - x - 3y = 2 \]

\[ 2y = 2 \]

\[ y = 1 \]

2. Подставим y=1 во второе уравнение:

\[ x + 3(1) = 5 \]

\[ x + 3 = 5 \]

\[ x = 2 \]

б) {x+y=12; x-3y=0}

1. Из второго уравнения выразим x:

\[ x = 3y \]

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3y + y = 12 \]

\[ 4y = 12 \]

\[ y = 3 \]

3. Найдем x:

\[ x = 3y = 3(3) = 9 \]

в) {11x-y=150; y+7x=30}

1. Сложим два уравнения, чтобы исключить y:

\[ (11x - y) + (y + 7x) = 150 + 30 \]

\[ 11x - y + y + 7x = 180 \]

\[ 18x = 180 \]

\[ x = 10 \]

2. Подставим x=10 во второе уравнение:

\[ y + 7(10) = 30 \]

\[ y + 70 = 30 \]

\[ y = 30 - 70 = -40 \]

г) {2(3x-y)-5=2x-3y; 5-(x-2y)=4y+18}

1. Раскроем скобки и упростим оба уравнения:

Первое уравнение:

\[ 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \]

\[ 6x - 2x - 2y + 3y = 5 \]

\[ 4x + y = 5 \]

Второе уравнение:

\[ 5 - x + 2y = 4y + 18 \]

\[ -x + 2y - 4y = 18 - 5 \]

\[ -x - 2y = 13 \]

Теперь у нас новая система:

\[ \begin{cases} 4x + y = 5 \\ -x - 2y = 13 \end{cases} \]

2. Из первого уравнения выразим y:

\[ y = 5 - 4x \]

3. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ -x - 2(5 - 4x) = 13 \]

\[ -x - 10 + 8x = 13 \]

\[ 7x = 13 + 10 \]

\[ 7x = 23 \]

\[ x = \frac{23}{7} \]

4. Найдем y:

\[ y = 5 - 4x = 5 - 4 \left( \frac{23}{7} \right) = 5 - \frac{92}{7} = \frac{35 - 92}{7} = \frac{-57}{7} \]

Ответ:

• а) x=2, y=1
• б) x=9, y=3
• в) x=10, y=-40
• г) x=\(rac{23}{7}\), y=\(rac{-57}{7}\)