3. Решите уравнение: 2) \(\frac{x+2}{9} = \frac{2}{x-3}\)

Решение:

1. Для решения уравнения, где неизвестная находится в знаменателях, используем метод перекрёстного умножения. Это возможно, если знаменатели не равны нулю, то есть \( x \neq 3 \).

\[ (x+2)(x-3) = 9 \cdot 2 \]

2. Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[ x^2 - 3x + 2x - 6 = 18 \]

3. Упростим выражение:

\[ x^2 - x - 6 = 18 \]

4. Перенесём число 18 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - x - 6 - 18 = 0 \]\[ x^2 - x - 24 = 0 \]

5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \( a = 1, b = -1, c = -24 \).

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 1 + 96 = 97 \]

6. Найдём корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{2} \]

7. Так как \( \sqrt{97} \) не является целым числом, корни уравнения оставляем в таком виде.

Ответ: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{2} \).