3. Решите уравнение графически. А) (1/5)^x = 2x^2 - 8x + 6. Б) log2x = -x + 1.

Решение:

А) \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 2x^2 - 8x + 6 \)

Построим графики двух функций: \( y = \left( \frac{1}{5} \right)^x \) (экспоненциальная функция убывает) и \( y = 2x^2 - 8x + 6 \) (парабола ветвями вверх).

Для параболы найдём вершину:

\( x_в = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \).

\( y_в = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \).

Найдем точки пересечения параболы с осью X, решив \( 2x^2 - 8x + 6 = 0 \):

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
\( (x-1)(x-3) = 0 \)
\( x=1 \) или \( x=3 \).

Проверим значения экспоненты в этих точках:

При \( x = 1 \): \( y = \left( \frac{1}{5} \right)^1 = \frac{1}{5} \). Значение параболы равно 0.

При \( x = 3 \): \( y = \left( \frac{1}{5} \right)^3 = \frac{1}{125} \). Значение параболы равно 0.

При \( x = 2 \): \( y = \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} \). Значение параболы равно -2.

Визуально, графики пересекаются в двух точках, одна из которых находится между 0 и 1, а другая — между 1 и 3. Точные значения корней определить графически сложно, но можно оценить их приближенно.

Б) \( \log_2 x = -x + 1 \)

Построим графики функций \( y = \log_2 x \) (логарифмическая функция возрастает) и \( y = -x + 1 \) (прямая, убывающая).

Заметим, что при \( x=1 \):

\( \log_2 1 = 0 \).

\( -1 + 1 = 0 \).

Таким образом, \( x=1 \) является решением уравнения.

Поскольку \( y = \log_2 x \) возрастает, а \( y = -x + 1 \) убывает, они могут пересекаться только в одной точке.

Ответ: А) Приблизительно два корня, один в интервале (0, 1), другой в интервале (1, 3). Б) x = 1.