6. Площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью ABC1 равна 81√2 см². Найдите: а) диагональ куба б) площадь сечения куба плоскостью ACD1.

Решение:

а) Нахождение диагонали куба:

Плоскость \( ABC_1 \) пересекает куб по прямоугольнику \( ABC_1D_1 \). Основание \( ABC_1D_1 \) имеет стороны \( AB = a \) (ребро куба) и \( BC_1 \).

Найдем длину \( BC_1 \). В прямоугольном треугольнике \( BCC_1 \) (где \( BC = a \), \( CC_1 = a \)) по теореме Пифагора:

\( BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \)
\( BC_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

Площадь сечения (прямоугольника \( ABC_1D_1 \)) равна произведению его сторон:

\( S_{ABC_1D_1} = AB \cdot BC_1 = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} \).

По условию, \( S_{ABC_1D_1} = 81\sqrt{2} \) см².

Приравниваем:

\( a^2\sqrt{2} = 81\sqrt{2} \)
\( a^2 = 81 \)
\( a = 9 \) см (так как длина ребра положительна).

Диагональ куба \( d \) находится по формуле \( d = a\sqrt{3} \).

\( d = 9\sqrt{3} \) см.

б) Нахождение площади сечения куба плоскостью ACD1:

Плоскость \( ACD_1 \) пересекает куб по прямоугольнику \( ACD_1B_1 \). Стороны этого прямоугольника:

\( AC \) — диагональ основания куба. \( AC = a\sqrt{2} \).

\( CD_1 \) — диагональ боковой грани. \( CD_1 = a\sqrt{2} \).

Таким образом, сечение \( ACD_1B_1 \) является квадратом со стороной \( a\sqrt{2} \).

Площадь сечения:

\( S_{ACD_1B_1} = (a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2 \).

Подставляем найденное значение \( a^2 = 81 \):

\( S_{ACD_1B_1} = 2 \cdot 81 = 162 \) см².

Ответ: а) Диагональ куба равна 9√3 см. б) Площадь сечения равна 162 см².