3. Решите уравнение x⁴ = (x – 20)².

Решение:

Данное уравнение имеет вид \( x^4 = (x - 20)^2 \).

Перепишем уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\( \sqrt{x^4} = \sqrt{(x - 20)^2} \)

\( |x^2| = |x - 20| \)

Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, \( |x^2| = x^2 \). Следовательно:

\( x^2 = |x - 20| \)

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( x - 20 \geq 0 \), то есть \( x \geq 20 \).

В этом случае \( |x - 20| = x - 20 \). Уравнение примет вид:

\( x^2 = x - 20 \)

\( x^2 - x + 20 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79 \).

Так как \( D < 0 \), действительных корней в этом случае нет.

2. Случай 2: \( x - 20 < 0 \), то есть \( x < 20 \).

В этом случае \( |x - 20| = -(x - 20) = 20 - x \). Уравнение примет вид:

\( x^2 = 20 - x \)

\( x^2 + x - 20 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \).

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Оба найденных корня \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -5 \) удовлетворяют условию \( x < 20 \).

Ответ: x = 4, x = -5.