6. Решите уравнение x³ + 3x² - x - 3 = 0.

Решение:

Данное уравнение является кубическим: \( x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0 \).

Попробуем решить его методом группировки.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\( (x^3 + 3x^2) + (-x - 3) = 0 \)

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0 \)

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки:

\( (x + 3)(x^2 - 1) = 0 \)

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим каждый множитель:

1. Первый множитель: \( x + 3 = 0 \)

\( x = -3 \)

2. Второй множитель: \( x^2 - 1 = 0 \)

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: \( (x - 1)(x + 1) = 0 \).

Отсюда получаем два решения:

\( x - 1 = 0 \) \(\, \Rightarrow \, x = 1 \)

\( x + 1 = 0 \) \(\, \Rightarrow \, x = -1 \)

Таким образом, мы получили три корня уравнения: \( x = -3 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \).

Ответ: x = -3, x = 1, x = -1.