5. Решите уравнение \(\frac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 - 9} = 1\).

Решение:

Данное уравнение имеет вид \(\frac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 - 9} = 1\).

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( x^2 - 9 \neq 0 \) \(\, \Rightarrow \, x^2 \neq 9 \) \(\, \Rightarrow \, x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Умножим обе части уравнения на \( x^2 - 9 \):

\( 2x^2 + 7x + 3 = 1 \cdot (x^2 - 9) \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = x^2 - 9 \)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\( 2x^2 - x^2 + 7x + 3 + 9 = 0 \)

\( x^2 + 7x + 12 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Мы получили \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -4 \).

Корень \( x_1 = -3 \) не входит в ОДЗ, так как при \( x = -3 \) знаменатель \( x^2 - 9 \) обращается в ноль.

Корень \( x_2 = -4 \) входит в ОДЗ.

Следовательно, единственным решением уравнения является \( x = -4 \).

Ответ: x = -4.