4. Решите уравнение x⁶ = (х + 6)³.

Решение:

Данное уравнение имеет вид \( x^6 = (x + 6)^3 \).

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

\( \sqrt[3]{x^6} = \sqrt[3]{(x + 6)^3} \)

\( x^2 = x + 6 \)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - x - 6 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Проверим найденные корни:

Для \( x = 3 \): \( 3^6 = 729 \); \( (3+6)^3 = 9^3 = 729 \). Равенство верно.

Для \( x = -2 \): \( (-2)^6 = 64 \); \( (-2+6)^3 = 4^3 = 64 \). Равенство верно.

Ответ: x = 3, x = -2.