№3. Решите уравнения: а) \(3^{x+2}+3\cdot3^x=36\); б) \(9^x-5\cdot3^{x+1}+54=0\); в) \(9^x+4^x=2,5\cdot6^x\)

а) Преобразуем степени с одинаковым основанием: \(3^{x+2}=9\cdot3^x\). Тогда

\(9\cdot3^x+3\cdot3^x=36\),

\(12\cdot3^x=36\), откуда \(3^x=3=3^1\), поэтому \(x=1\).

б) Положим \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(9^x=t^2\), а \(3^{x+1}=3t\):

\(t^2-15t+54=0\),

\((t-6)(t-9)=0\). Значит, \(t=6\) или \(t=9\). Из \(3^x=6\) получаем \(x=\log_3 6\); из \(3^x=9\) получаем \(x=2\).

в) Разделим обе части на \(6^x>0\):

\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=2,5\).

Обозначим \(u=(3/2)^x>0\). Тогда \((2/3)^x=1/u\), и

\(u+\dfrac1u=2,5\), откуда \(2u^2-5u+2=0\). Корни: \(u=2\) и \(u=1/2\). Поэтому \((3/2)^x=2\) или \((3/2)^x=1/2=(3/2)^{-1}\).

Итак, \(x=\log_{3/2}2\) или \(x=-1\).

Ответ: а) \(1\); б) \(\log_3 6,\ 2\); в) \(\log_{3/2}2,\ -1\).