№4. Решите неравенства: а) \(10^{2x-5}\leq\dfrac{1}{1000000}\); б) \(4^{5+4x}-15\cdot\left(\dfrac14\right)^{3+4x}+8\geq0\)

а) Так как \(1/1000000=10^{-6}\), а функция \(10^t\) возрастает, сравниваем показатели:

\(2x-5\leq-6\),

\(2x\leq-1\), поэтому \(x\leq-1/2\).

б) Обозначим \(t=4^{4x}>0\). Тогда \(4^{5+4x}=1024t\), а \((1/4)^{3+4x}=1/(64t)\). Получаем

\(1024t-\dfrac{15}{64t}+8\geq0\).

Умножим на \(64t>0\), не меняя знак неравенства:

\(65536t^2+512t-15\geq0\).

Корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(t=-3/256\) и \(t=1/128\). Поскольку старший коэффициент положителен, неравенство выполняется при \(t\leq-3/256\) или \(t\geq1/128\). С учётом \(t>0\) остаётся \(t\geq1/128=2^{-7}\).

Значит, \(4^{4x}=2^{8x}\geq2^{-7}\), откуда \(8x\geq-7\) и \(x\geq-7/8\).

Ответ: а) \(x\leq-1/2\); б) \(x\geq-7/8\).