3. Решите уравнения: а) log8 (4 - 2x) = 2 ; б) log1(4 - 3x) = -1. в) log3 (5 - x) + log3(-1 - x) = 3

Решение:

а) \( \log_8 (4 - 2x) = 2 \)

1. Запишем уравнение в показательной форме: \( 4 - 2x = 8^2 \)
2. \( 4 - 2x = 64 \)
3. \( -2x = 60 \)
4. \( x = -30 \)
5. Проверим ОДЗ: \( 4 - 2(-30) = 4 + 60 = 64 > 0 \). Условие выполнено.

б) \( \log_1 (4 - 3x) = -1 \)

Логарифм с основанием 1 не определен. Вероятно, в задании опечатка. Если предположить, что основание равно 10, то:

1. \( \log_{10} (4 - 3x) = -1 \)
2. \( 4 - 3x = 10^{-1} \)
3. \( 4 - 3x = 0.1 \)
4. \( -3x = 0.1 - 4 \)
5. \( -3x = -3.9 \)
6. \( x = 1.3 \)
7. Проверим ОДЗ: \( 4 - 3(1.3) = 4 - 3.9 = 0.1 > 0 \). Условие выполнено.

в) \( \log_3 (5 - x) + \log_3(-1 - x) = 3 \)

1. Сложим логарифмы: \( \log_3 ((5 - x)(-1 - x)) = 3 \)
2. \( \log_3 (-(5 - x)(1 + x)) = 3 \)
3. \( \log_3 (-5 - 5x + x + x^2) = 3 \)
4. \( \log_3 (x^2 - 4x - 5) = 3 \)
5. Запишем уравнение в показательной форме: \( x^2 - 4x - 5 = 3^3 \)
6. \( x^2 - 4x - 5 = 27 \)
7. \( x^2 - 4x - 32 = 0 \)
8. Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \)
9. \( \sqrt{D} = 12 \)
10. Найдем корни: \( x_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4 \)
11. Проверим ОДЗ:
• Для \( x = 8 \): \( 5 - 8 = -3 < 0 \) и \( -1 - 8 = -9 < 0 \). Условие ОДЗ не выполнено.
• Для \( x = -4 \): \( 5 - (-4) = 9 > 0 \) и \( -1 - (-4) = 3 > 0 \). Условие ОДЗ выполнено.

Ответ: а) \( x = -30 \); б) \( x = 1.3 \) (при условии, что основание логарифма 10); в) \( x = -4 \).