4. Решите неравенства: а) log0,5 (2x + 3) < log0,5 (x + 1);

Решение:

а) \( \log_{0.5} (2x + 3) < \log_{0.5} (x + 1) \)

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2x + 3 > 0 \) \( \implies \) \( 2x > -3 \) \( \implies \) \( x > -1.5 \)
• \( x + 1 > 0 \) \( \implies \) \( x > -1 \)
• Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > -1 \).
2. Так как основание логарифма \( 0.5 < 1 \), то при переходе от логарифмического неравенства к линейному знак неравенства меняется на противоположный:
3. \( 2x + 3 > x + 1 \)
4. \( 2x - x > 1 - 3 \)
5. \( x > -2 \)
6. Теперь учтем ОДЗ \( x > -1 \).
7. Пересекая \( x > -2 \) и \( x > -1 \), получаем, что \( x > -1 \).

Ответ: \( x \in (-1; +\infty) \).