3. Решите уравнения: а) $\sqrt{x-2}=4$; б) $\sqrt[3]{x^2-2x+5}=\sqrt[3]{15-x}$; в) $\sqrt{x+10}=x-2$; г) $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+8}=1$; д) $\sqrt{3+x}\cdot\sqrt{x-4}=2\sqrt2$; е) $(x^2+3x+2)\cdot\sqrt{2x^2+8x}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите уравнения: а) $\sqrt{x-2}=4$; б) $\sqrt[3]{x^2-2x+5}=\sqrt[3]{15-x}$; в) $\sqrt{x+10}=x-2$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Возводим обе части в квадрат: $x-2=16$, значит $x=18$. Проверка: $\sqrt{18-2}=4$.
б) Кубический корень взаимно однозначен на действительных числах, поэтому $x^2-2x+5=15-x$. Получаем $x^2-x-10=0$, откуда $x=\frac{1\pm\sqrt{41}}{2}$.
в) Необходимо $x\ge2$. Возводим в квадрат: $x+10=(x-2)^2$, то есть $x^2-5x-6=0$. Корни — 6 и −1; условию подходит только 6.
г) Область определения: $x\ge-\frac13$. Тогда $\sqrt{x+8}\ge\sqrt{\frac{23}{3}}>1$, поэтому сумма двух неотрицательных корней больше 1. Решений нет.
д) Область определения: $x\ge4$. Объединяем корни: $\sqrt{(x+3)(x-4)}=2\sqrt2$. После возведения в квадрат получаем $x^2-x-20=0$, корни 5 и −4. Условию подходит только 5.
е) Область определения задаётся условием $2x^2+8x\ge0$, то есть $x\le-4$ или $x\ge0$. Произведение равно нулю, если $x^2+3x+2=0$ или $2x^2+8x=0$. Первый вариант даёт −1 и −2, они не входят в область определения; второй даёт −4 и 0, и оба корня подходят.

Ответ: а) 18; б) $\frac{1-\sqrt{41}}{2},\frac{1+\sqrt{41}}{2}$; в) 6; г) решений нет; д) 5; е) −4, 0.

3. Решите уравнения: а) \(\sqrt{x-2}=4\); б) \(\sqrt[3]{x^2-2x+5}=\sqrt[3]{15-x}\); в) \(\sqrt{x+10}=x-2\); г) \(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+8}=1\); д) \(\sqrt{3+x}\cdot\sqrt{x-4}=2\sqrt2\); е) \((x^2+3x+2)\cdot\sqrt{2x^2+8x}=0\).