3. Решите уравнения: а) x³+2x²=0; б) x⁴−7x³−x²+7x=0; в) 3x⁴−14x²+16=0; г) (x²+6)²−4(x²+6)−21=0.

Question

Вопрос:

3. Решите уравнения: а) x³+2x²=0; б) x⁴−7x³−x²+7x=0; в) 3x⁴−14x²+16=0; г) (x²+6)²−4(x²+6)−21=0.

Accepted Answer

а) \(x^3+2x^2=x^2(x+2)=0\). Следовательно, x=0 или x=−2.

б) Группируем слагаемые: \(x^4-7x^3-x^2+7x=x^2(x^2-7)-(x^2-7)=(x^2-7)(x^2-1)=0\). Поэтому \(x=\pm\sqrt7\) или x=±1.

в) Положим \(y=x^2\). Тогда \(3y^2-14y+16=0=(3y-8)(y-2)\). Значит, \(x^2=\frac83\) или \(x^2=2\), откуда \(x=\pm\sqrt{\frac83}\) или \(x=\pm\sqrt2\).

г) Положим \(y=x^2+6\). Получаем \(y^2-4y-21=0=(y-7)(y+3)\). Тогда \(x^2+6=7\) или \(x^2+6=-3\). Первое даёт x=±1; второе невозможно в действительных числах.

Ответ: а) −2, 0; б) −√7, −1, 1, √7; в) −√(8/3), −√2, √2, √(8/3); г) −1, 1.