3. Решите задачу: Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение: 1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за x (км/ч). 2. Скорость лодки по течению равна (x + 3) км/ч. 3. Скорость лодки против течения равна (x - 3) км/ч. 4. Время, затраченное на путь по течению, равно 36 / (x + 3) часов. 5. Время, затраченное на путь против течения, равно 36 / (x - 3) часов. 6. Общее время, затраченное на весь путь, равно 5 часов. 7. Составим уравнение: \(\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5\) 8. Умножим обе части уравнения на (x + 3)(x - 3), при этом x ≠ 3 и x ≠ -3: \( 36(x - 3) + 36(x + 3) = 5(x^2 - 9) \) 9. Раскроем скобки и упростим: \(36x - 108 + 36x + 108 = 5x^2 - 45\) \(72x = 5x^2 - 45\) \(5x^2 - 72x - 45 = 0\) 10. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 * 5 * (-45) = 5184 + 900 = 6084\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + \sqrt{6084}}{2 * 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - \sqrt{6084}}{2 * 5} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6\) 11. Скорость не может быть отрицательной, поэтому x = -0.6 не подходит. 12. Проверим корень 15. При скорости 15 км/ч лодка плывет по течению со скоростью 18 км/ч ( 36/18 = 2 часа) и против течения 12 км/ч ( 36/12 = 3 часа), 2+3=5 часов. Корень подходит. Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.