3. Решите задачу: После смешивания трёх растворов соляной кислоты концентрации 20%, 30% и 45% получили 4,5 кг соляной кислоты концентрации 32%. Кислоты концентрации 20% было в 3 раза больше, чем кислоты 30% концентрации. Сколько смешали кислоты каждой концентрации?

Дано:

• Общая масса раствора: 4,5 кг
• Концентрация итогового раствора: 32%
• Концентрации исходных растворов: 20%, 30%, 45%
• Масса раствора 20% в 3 раза больше массы раствора 30%

Найти:

• Массу каждого исходного раствора.

Решение:

1. Обозначим переменные:
• Пусть $$x$$ кг — масса раствора с концентрацией 30%.
• Тогда масса раствора с концентрацией 20% будет $$3x$$ кг.
• Пусть $$y$$ кг — масса раствора с концентрацией 45%.
2. Составим уравнения, исходя из условий:
• По массе: $$x + 3x + y = 4,5$$
• $$4x + y = 4,5$$ (1)
• По содержанию чистой кислоты:
• Масса кислоты в 20% растворе: $$0,20 imes 3x = 0,6x$$
• Масса кислоты в 30% растворе: $$0,30 imes x = 0,3x$$
• Масса кислоты в 45% растворе: $$0,45 imes y = 0,45y$$
• Общая масса кислоты в итоговом растворе: $$0,32 imes 4,5 = 1,44$$
• $$0,6x + 0,3x + 0,45y = 1,44$$
• $$0,9x + 0,45y = 1,44$$ (2)
3. Решим систему уравнений:
• Из уравнения (1) выразим $$y$$: $$y = 4,5 - 4x$$.
• Подставим это значение в уравнение (2):
• $$0,9x + 0,45(4,5 - 4x) = 1,44$$
• $$0,9x + 2,025 - 1,8x = 1,44$$
• $$-0,9x = 1,44 - 2,025$$
• $$-0,9x = -0,585$$
• $$x = \frac{-0,585}{-0,9} = 0,65$$
• Теперь найдем $$y$$:
• $$y = 4,5 - 4x = 4,5 - 4(0,65) = 4,5 - 2,6 = 1,9$$
4. Найдем массы растворов:
• Масса 30% раствора: $$x = 0,65$$ кг
• Масса 20% раствора: $$3x = 3 imes 0,65 = 1,95$$ кг
• Масса 45% раствора: $$y = 1,9$$ кг
5. Проверим:
• Общая масса: $$0,65 + 1,95 + 1,9 = 4,5$$ кг (верно)
• Общая масса кислоты: $$(0,20 imes 1,95) + (0,30 imes 0,65) + (0,45 imes 1,9) = 0,39 + 0,195 + 0,855 = 1,44$$ кг
• Концентрация: $$\frac{1,44}{4,5} = 0,32$$ или 32% (верно)

Ответ: Было смешано 1,95 кг 20% раствора, 0,65 кг 30% раствора и 1,9 кг 45% раствора.