7. Вычислите сумму: 1 / (1+x+xy) + 1 / (1+y+yz) + 1 / (1+z+zx) , если xyz =1.

Решение:

У нас есть сумма:

\[ S = \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} \]

Дано условие: $$xyz = 1$$. Воспользуемся этим, чтобы привести дроби к общему знаменателю.

1. Преобразуем первую дробь:
• Оставим как есть: $$\frac{1}{1+x+xy}$$
2. Преобразуем вторую дробь:
• Умножим числитель и знаменатель на $$x$$:
• \[ \frac{1}{1+y+yz} = \frac{x}{x(1+y+yz)} = \frac{x}{x+xy+xyz} \]
• Так как $$xyz = 1$$, то:
• \[ \frac{x}{x+xy+1} = \frac{x}{1+x+xy} \]
3. Преобразуем третью дробь:
• Умножим числитель и знаменатель на $$xy$$:
• \[ \frac{1}{1+z+zx} = \frac{xy}{xy(1+z+zx)} = \frac{xy}{xy+xyz+xyzx} \]
• Так как $$xyz = 1$$, то:
• \[ \frac{xy}{xy+1+x} = \frac{xy}{1+x+xy} \]
4. Сложим преобразованные дроби:
• \[ S = \frac{1}{1+x+xy} + \frac{x}{1+x+xy} + \frac{xy}{1+x+xy} \]
• \[ S = \frac{1+x+xy}{1+x+xy} \]
• \[ S = 1 \]

Ответ: Сумма равна 1.