3. Решите задачу: в треугольнике ABC AB = 3√2 см, ∠A = 15°, ∠C = 135°. Найдите сторону AC и радиус описанной окружности.

Сначала найдём третий угол:

\(\angle B=180^\circ-15^\circ-135^\circ=30^\circ\).

По теореме синусов, поскольку сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\), а сторона \(AC\) — напротив угла \(B\):

\(AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C}=3\sqrt2\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin135^\circ}=3\sqrt2\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=3\) см.

Радиус описанной окружности удовлетворяет равенству \(AB=2R\sin C\). Поэтому

\(R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{3\sqrt2}{2\cdot\sqrt2/2}=3\) см.

Ответ: \(AC=3\) см, \(R=3\) см.