3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 5 и 8. Вычислите диагональ параллелепипеда и длины диагоналей боковых граней.

Обозначим три измерения параллелепипеда: \(2\), \(5\) и \(8\). Диагональ прямоугольного параллелепипеда находим по теореме Пифагора в пространстве:

\(d=\sqrt{2^2+5^2+8^2}=\sqrt{4+25+64}=\sqrt{93}\).

Диагонали граней вычисляются по теореме Пифагора для каждой пары рёбер:

• грань со сторонами 2 и 5: \(\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\);
• грань со сторонами 2 и 8: \(\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\);
• грань со сторонами 5 и 8: \(\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{89}\).

У противоположных граней диагонали такой же длины.

Ответ: диагональ параллелепипеда — \(\sqrt{93}\); диагонали боковых граней — \(\sqrt{29}\), \(2\sqrt{17}\) и \(\sqrt{89}\) (по две каждой длины).