4. Через точку A, лежащую в плоскости α, проведён перпендикуляр AB к плоскости α. Укажите самую короткую и самую длинную наклонную BX, где точка X принадлежит квадрату, точка A которого — одна из вершин.

Пусть квадрат ABCD лежит в плоскости α, а AB — перпендикуляр к этой плоскости. Для любой вершины X квадрата, отличной от A, треугольник BAX прямоугольный при A, поэтому \(BX^2=BA^2+AX^2\). Следовательно, длина BX возрастает вместе с AX.

Ближайшие к A вершины квадрата — две соседние с ней; расстояния от A до них равны стороне квадрата. Поэтому соответствующие наклонные равны и являются самыми короткими. Наибольшее расстояние от A в квадрате — до противоположной вершины; наклонная к ней самая длинная.

Ответ: самые короткие — наклонные к двум соседним с A вершинам квадрата; самая длинная — наклонная к противоположной вершине.