3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Вычислите диагональ параллелепипеда и длины диагоналей боковых граней.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда находитcя по теореме Пифагора в пространстве:

\(d=\sqrt{4^2+6^2+12^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14\).

Диагонали боковых граней вычислим по теореме Пифагора. У параллельных противоположных граней диагонали одинаковой длины:

• для граней со сторонами 4 и 6: \(\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\);
• для граней со сторонами 4 и 12: \(\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\);
• для граней со сторонами 6 и 12: \(\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\).

Ответ: диагональ параллелепипеда — 14; длины диагоналей боковых граней — \(2\sqrt{13}\), \(4\sqrt{10}\) и \(6\sqrt{5}\) (каждая длина встречается у двух противоположных граней).