3. SA - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Дано: ABCD - квадрат. Сторона квадрата = 4. Угол при основании = 30°.

Решение:

• Площадь основания: Так как ABCD - квадрат со стороной 4, площадь основания равна 4 * 4 = 16.
• Площадь боковой поверхности:
• Площадь треугольника SAB: Основание AB = 4. Нам нужен апофема (высота боковой грани).
• Площадь треугольника SBC: Основание BC = 4.
• Площадь треугольника SCD: Основание CD = 4.
• Площадь треугольника SAD: Основание AD = 4.
• Нахождение апофемы: Пусть O - центр квадрата. SA = 4. Угол между SA и плоскостью основания равен 90°. Угол наклона боковой грани к основанию равен 30°.
• Рассмотрим △SOA, где OA - половина диагонали квадрата. Диагональ AC = √(4^2 + 4^2) = √32 = 4√2. OA = 2√2.
• △SOA - прямоугольный треугольник.
• Высота боковой грани (апофема) будет равна высоте △SBC, опущенной из S на BC. Обозначим середину BC как M. SM - апофема.
• △SOM - прямоугольный треугольник, где OM = 4/2 = 2. Угол SMO = 90°. Угол SMA - угол наклона грани SBC к основанию.
• По условию, угол наклона боковой грани к основанию равен 30°. Это означает, что угол между апофемой и линией, соединяющей центр основания с серединой стороны основания, равен 30°. То есть ∠SMO = 30°.
• В △SOM: OM = 2, ∠SMO = 30°.
• SM = OM / ™cos(30°) = 2 / (√3/2) = 4/√3 = 4√3/3.
• Площадь боковой грани: Площадь каждой боковой грани равна 0.5 * основание * апофема = 0.5 * 4 * (4√3/3) = 8√3/3.
• Площадь боковой поверхности: 4 * (8√3/3) = 32√3/3.
• Площадь полной поверхности: Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 16 + 32√3/3.

Ответ: 16 + 32√3/3