3. Симметричный игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим три события: X — «в первый раз выпало 6 очков», Y — «во второй раз выпало больше 3 очков» и Z — «сумма выпавших очков равна 8». а) Какие два из этих трёх событий являются независимыми? б) Известно, что наступили события X и Y. Какова теперь вероятность события Z? Объясните ответ.

Обозначим результаты двух бросков упорядоченной парой. Всего равновероятны 36 пар.

а) \(P(X)=1/6\), \(P(Y)=3/6=1/2\). При наступлении X и Y возможны пары \((6,4),(6,5),(6,6)\), поэтому \(P(X\cap Y)=3/36=1/12=P(X)P(Y)\). Значит, X и Y независимы.

Для Z сумма 8 получается в пяти парах: \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\), значит, \(P(Z)=5/36\). Среди них только \((6,2)\) удовлетворяет X, поэтому \(P(X\cap Z)=1/36\ne P(X)P(Z)=5/216\). X и Z зависимы.

Если наступили X и Y, возможны три равновероятных исхода, и только один из них даёт сумму 8. Поэтому \(P(Z\mid X\cap Y)=1/3\).

Ответ: независимы X и Y; при наступлении X и Y вероятность Z равна 1/3.