5. В коробке под классной доской лежат 5 красных и 5 синих маркеров. Ваня выбирает по очереди два случайных маркера. Рассмотрим события A — «первый маркер красный» и B — «второй маркер синий». а) Являются ли события A и B в этом опыте независимыми? б) Изобразите подходящее дерево этого случайного опыта и найдите вероятность события C — «выбранные маркеры оказались одного цвета».

а) \(P(A)=5/10=1/2\). Если первым выбран красный маркер, остаётся 9 маркеров, из них 5 синих, поэтому \(P(B\mid A)=5/9\). Между тем \(P(B)=1/2\) по симметрии двух цветов. Так как \(P(B\mid A)\ne P(B)\), события A и B зависимы.

б) На каждом шаге вероятность цвета зависит от того, какой маркер уже выбран. Ветви дерева подписаны условными вероятностями:

Событие C означает, что оба маркера одного цвета: КК или СС.

\(P(C)=P(КК)+P(СС)=\frac5{10}\cdot\frac4{9}+\frac5{10}\cdot\frac4{9}=\frac49\).

Ответ: а) нет, события зависимы; б) P(C) = 4/9.