4. На рисунке изображено дерево случайного опыта S. а) Являются ли события A и B независимыми? Объясните ответ. б) Найдите вероятность события C по данным рисунка.

По дереву: \(P(A)=1/3\), \(P(\overline A)=2/3\); \(P(B\mid A)=2/5\), \(P(\overline B\mid A)=3/5\), \(P(B\mid\overline A)=2/5\), \(P(\overline B\mid\overline A)=3/5\). Событие C на рисунке охватывает исходы, соответствующие B и \(\overline B\).

а) \(P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac13\cdot\frac25=\frac{2}{15}\). Также \(P(B)=\frac13\cdot\frac25+\frac23\cdot\frac25=\frac25\), а \(P(A)P(B)=\frac13\cdot\frac25=\frac{2}{15}\). Следовательно, A и B независимы.

б) Вероятность события C равна сумме вероятностей всех охваченных им конечных исходов: \(P(C)=\frac13\cdot\frac25+\frac13\cdot\frac35+\frac23\cdot\frac25+\frac23\cdot\frac35=1\).

Ответ: а) да, A и B независимы; б) P(C) = 1.