3. Сколько существует трёхзначных чисел, кратных 3, ни одна цифра которых на 3 не делится?

Цифры, которые делятся на 3, — 0, 3, 6 и 9. Значит, в числе могут использоваться только цифры 1, 2, 4, 5, 7 и 8.

Из них цифры 1, 4, 7 дают остаток 1 при делении на 3, а цифры 2, 5, 8 — остаток 2. Сумма трёх цифр делится на 3, если все три имеют остаток 1 или все три имеют остаток 2. В каждом случае для каждой позиции есть 3 выбора, повторы разрешены.

Итого \(3^3 + 3^3 = 54\).

Ответ: 54 числа.