3. Сократите дробь: 2x² - x - 1 —— x - 1

Решение:

Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни квадратного трёхчлена \( 2x^2 - x - 1 \).

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).

\( \sqrt{D} = 3 \).

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \).

Значит, \( 2x^2 - x - 1 = 2(x - 1)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x + 1) \).

Теперь сократим дробь:

\( \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(2x + 1)}{x - 1} = 2x + 1 \).

Ответ: \( 2x + 1 \).