4. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

По условию задачи:

1) Периметр: \( 2(a + b) = 22 \) см.

2) Площадь: \( ab = 24 \) см².

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

\( a + b = \frac{22}{2} \)
\( a + b = 11 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

\( \begin{cases} a + b = 11 \\ ab = 24 \end{cases} \).

Рассмотрим квадратное уравнение, корнями которого являются \( a \) и \( b \). Оно имеет вид \( t^2 - (a+b)t + ab = 0 \).

Подставим значения:

\( t^2 - 11t + 24 = 0 \).

Решим это уравнение:

\( D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \).

\( \sqrt{D} = 5 \).

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Значит, стороны прямоугольника равны 8 см и 3 см.

Ответ: 8 см и 3 см.