3. Сократите дробь: а) (√12 - √20) / (√60 - √36); б) (81a^2 - b^2) / (81a^2 - 18ab + b^2)

Решение:

а) \( \frac{\sqrt{12} - \sqrt{20}}{\sqrt{60} - \sqrt{36}} \)

Упростим корни:

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \)

\( \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \)

\( \sqrt{36} = 6 \)

Подставим упрощенные корни в дробь:

\( \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{2\sqrt{15} - 6} \)

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

Числитель: \( 2(\sqrt{3} - \sqrt{5}) \)

Знаменатель: \( 2(\sqrt{15} - 3) \)

Дробь: \( \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{2(\sqrt{15} - 3)} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{15} - 3} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение \( (\sqrt{15} + 3) \):

\( \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{15} + 3)}{(\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} + 3)} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{15} + 3\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{15} - 3\sqrt{5}}{(\sqrt{15})^2 - 3^2} \)

\( \frac{\sqrt{45} + 3\sqrt{3} - \sqrt{75} - 3\sqrt{5}}{15 - 9} = \frac{3\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{6} \)

\( \frac{3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

б) \( \frac{81a^2 - b^2}{81a^2 - 18ab + b^2} \)

Знаменатель является полным квадратом разности: \( (9a - b)^2 \).

Числитель является разностью квадратов: \( (9a)^2 - b^2 = (9a - b)(9a + b) \).

Запишем дробь:

\( \frac{(9a - b)(9a + b)}{(9a - b)^2} \)

Сократим \( (9a - b) \):

\( \frac{9a + b}{9a - b} \)

Ответ: \( \frac{9a + b}{9a - b} \).