3. Сократите дроби: а) 2+√6 / √6+3

Решение:

Чтобы сократить дробь \( \frac{2+\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3} \), умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \( \sqrt{6}-3 \).

\( \frac{2+\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3} = \frac{(2+\sqrt{6})(\sqrt{6}-3)}{(\sqrt{6}+3)(\sqrt{6}-3)} \)

Числитель:

\( (2+\sqrt{6})(\sqrt{6}-3) = 2\sqrt{6} - 6 + (\sqrt{6})^2 - 3\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 6 + 6 - 3\sqrt{6} = -\sqrt{6} \)

Знаменатель (используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 \)):

\( (\sqrt{6}+3)(\sqrt{6}-3) = (\sqrt{6})^2 - 3^2 = 6 - 9 = -3 \)

Теперь объединим числитель и знаменатель:

\( \frac{-\sqrt{6}}{-3} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{3} \).