3. Сократите дроби: а) 5-√15 / √15-3

Решение:

Чтобы сократить дробь \( \frac{5-\sqrt{15}}{\sqrt{15}-3} \), мы можем попытаться вынести общий множитель из числителя.

Заметим, что \( 5 = \sqrt{25} \) и \( \sqrt{15} \).

Попробуем вынести \( \sqrt{5} \) из числителя:

\( 5 - \sqrt{15} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\( \sqrt{15} - 3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \)

Теперь подставим эти выражения обратно в дробь:

\( \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})} \)

Мы видим, что множитель \( (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить.

\( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \).

\( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{3} \).