3. Сократите дроби: а) $\frac{a^4+4}{a^3-2a^2+2a}$; б) $\frac{x^{14}+x^{13}+x^{12}+\ldots+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Сократите дроби: а) $\frac{a^4+4}{a^3-2a^2+2a}$; б) $\frac{x^{14}+x^{13}+x^{12}+\ldots+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}$.$ Фото задания

3. Сократите дроби: а) $\frac{a^4+4}{a^3-2a^2+2a}$; б) $\frac{x^{14}+x^{13}+x^{12}+\ldots+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}$.

Accepted Answer

а) Используем тождество $a^4+4=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)$ и разложение знаменателя: $a^3-2a^2+2a=a(a^2-2a+2)$.

Сокращаем общий множитель: $\frac{(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)}{a(a^2-2a+2)}=\frac{a^2+2a+2}{a}$, при $a\ne0$.

б) Сгруппируем сумму в числителе как сумму блоков: $x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.

Числитель равен $(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{10}+x^5+1)$, поэтому после сокращения получаем $x^{10}+x^5+1$.

Ответ: а) $\frac{a^2+2a+2}{a}$, $a\ne0$; б) $x^{10}+x^5+1$.

3. Сократите дроби: а) \(\frac{a^4+4}{a^3-2a^2+2a}\); б) \(\frac{x^{14}+x^{13}+x^{12}+\ldots+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}\).

Ответ: