3. \(\sqrt{6+5x} = x\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 6 + 5x = x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни. Условие \(x \ge 0\) (так как \(x\) стоит под корнем и равен ему).

При \(x = 6\): \(\sqrt{6 + 5(6)} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6\). \(x = 6\) подходит.

При \(x = -1\): \(\sqrt{6 + 5(-1)} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1\). При этом \(x = -1\). \(1 \ne -1\). Корень \(x = -1\) не подходит.

Ответ: x = 6.