3. \(\sqrt{6+5x} = x\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 6 + 5x = x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни. Важно учесть, что \( x \) не может быть отрицательным, так как \( \sqrt{6+5x} \) по определению неотрицательный корень.

Для \( x = 6 \): \( \sqrt{6 + 5 \cdot 6} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6 \). При этом \( x = 6 \). \( 6 = 6 \) — подходит.

Для \( x = -1 \): \( \sqrt{6 + 5 \cdot (-1)} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1 \). При этом \( x = -1 \). \( 1 \neq -1 \) — не подходит.

Ответ: \( x = 6 \).