3. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

Пусть \(BC=a\). По условию \(CD=2a\).

Так как N — середина CD, то \(CN=\frac{CD}{2}=a\). Следовательно, \(BC=CN\), поэтому треугольник BCN равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

\(\angle CBN=\angle BNC\).

Поскольку \(AB\parallel CD\), а луч CN лежит на прямой CD, то угол \(BNC\) равен углу между BN и AB:

\(\angle BNC=\angle NBA\).

Следовательно, \(\angle CBN=\angle NBA\). Значит, BN делит угол ABC на два равных угла.

Следовательно, BN — биссектриса угла ABC.