3. Сторона ромба равна 9, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.

Решение:

• Диагонали ромба пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота, опущенная из точки пересечения на сторону.
• Пусть сторона ромба равна $$a=9$$.
• Пусть половина одной диагонали равна $$d_1/2$$ и половина другой диагонали равна $$d_2/2$$.
• Точка пересечения диагоналей — центр ромба.
• Расстояние от центра ромба до стороны ромба равно 1.
• Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Но нам не дана эта высота.
• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = rac{1}{2} d_1 d_2$$.
• Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Этот треугольник прямоугольный, стороны равны $$d_1/2$$, $$d_2/2$$ и $$a=9$$. По теореме Пифагора: $$(rac{d_1}{2})^2 + (rac{d_2}{2})^2 = a^2 = 9^2 = 81$$.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей (центра ромба) до стороны ромба — это высота в этом прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла.
• Площадь этого прямоугольного треугольника равна $$rac{1}{2} imes ext{катет}_1 imes ext{катет}_2 = rac{1}{2} imes rac{d_1}{2} imes rac{d_2}{2} = rac{d_1 d_2}{8}$$.
• Также площадь этого прямоугольного треугольника равна $$rac{1}{2} imes ext{гипотенуза} imes ext{высота} = rac{1}{2} imes a imes h = rac{1}{2} imes 9 imes 1 = rac{9}{2}$$.
• Приравниваем два выражения для площади: $$rac{d_1 d_2}{8} = rac{9}{2}$$.
• Отсюда $$d_1 d_2 = 8 imes rac{9}{2} = 36$$.
• Площадь ромба $$S = rac{1}{2} d_1 d_2 = rac{1}{2} imes 36 = 18$$.

Ответ: 18