3. Сумма двух чисел равна -12, а сумма их квадратов равна 74. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим искомые числа как x и y.

По условию задачи имеем систему уравнений:

• 1. \( x + y = -12 \)
• 2. \( x^2 + y^2 = 74 \)

Из первого уравнения выразим y:

• \( y = -12 - x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

• \( x^2 + (-12 - x)^2 = 74 \)
• \( x^2 + (144 + 24x + x^2) = 74 \)
• \( 2x^2 + 24x + 144 - 74 = 0 \)
• \( 2x^2 + 24x + 70 = 0 \)

Разделим все уравнение на 2:

• \( x^2 + 12x + 35 = 0 \)

Найдем дискриминант:

• \( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 \)

Найдем корни:

• \( x_1 = \frac{-12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
• \( x_2 = \frac{-12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 2}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)

Теперь найдем соответствующие значения y:

• Если \( x_1 = -5 \), то \( y_1 = -12 - (-5) = -12 + 5 = -7 \)
• Если \( x_2 = -7 \), то \( y_2 = -12 - (-7) = -12 + 7 = -5 \)

Таким образом, искомые числа — это -5 и -7.

Проверим:

• \( -5 + (-7) = -12 \)
• \( (-5)^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74 \)

Ответ: -5; -7