3. Сумма двух чисел равна 20, а их произведение равно 75. Найдите эти числа.

Задание 3. Поиск двух чисел

Пусть два числа будут \( x \) и \( y \). По условию задачи мы имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 20 \\ x \cdot y = 75 \end{cases} \]

Способ 1: Подстановка

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 20 - x \).
2. Подставим это значение во второе уравнение: \( x(20 - x) = 75 \).
3. Раскроем скобки: \( 20x - x^2 = 75 \).
4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 20x + 75 = 0 \).
5. Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, нам нужны два числа, сумма которых равна 20, а произведение равно 75. Это числа 5 и 15.
6. Проверим: \( 5 + 15 = 20 \) (верно). \( 5 \cdot 15 = 75 \) (верно).

Способ 2: Теорема Виета

Можно составить квадратное уравнение, корнями которого являются искомые числа. Для этого используем теорему Виета: \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \).

Подставим данные из условия:

\[ t^2 - 20t + 75 = 0 \]

Решаем это уравнение (например, через дискриминант):

\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100 \]

\[ t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 10}{2} \]

\( t_1 = \frac{20 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( t_2 = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Таким образом, искомые числа — 5 и 15.

Ответ: 5 и 15.