3. Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

Пусть одно число равно \( x \), а второе \( y \). По условию:

1. \( x + y = 19 \)
2. \( x^2 + y^2 = 185 \)

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 19 - x \). Подставим во второе уравнение:

\( x^2 + (19 - x)^2 = 185 \)

\( x^2 + (361 - 38x + x^2) = 185 \)

\( 2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0 \)

\( 2x^2 - 38x + 176 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - 19x + 88 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).

\( x_1 = \frac{19 + 3}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

\( x_2 = \frac{19 - 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Если \( x = 11 \), то \( y = 19 - 11 = 8 \). Если \( x = 8 \), то \( y = 19 - 8 = 11 \).

Числа 8 и 11.

Проверка: \( 8 + 11 = 19 \), \( 8^2 + 11^2 = 64 + 121 = 185 \).

В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Ответ: 811